Ah, le nombre!
Parlons-en donc et tentons de rendre plus accessible ce Saint Graal des mathématiques.

mercredi 17 février 2010

La question qui tue!

Combien ?

Pour l'adulte et pour à peu près tous les enfants de 8 ans, la question est limpide. On y répond au moyen d'un nombre servant à quantifier diverses réalités: les personnes qui se trouvent actuellement dans la pièce, le prix d'un achat, la distance entre deux villes, etc. Pour l'enfant, cette question va cependant prendre différents sens, selon l'étape du développement du nombre où il se situe (je fais ici référence aux Étapes incontournables actuellement sous expérimentation):

Chez les tout-petits et à l'étape A (avant 3 ans) la question Combien ? évoque une ritournelle familière accompagnée d'une série de gestes plus ou moins coordonnés des doigts de la main. Au début, la récitation est inexacte : un, deux, trois, cinq, huit... Dans ce cas, la correspondance entre les mots-nombres et les objets à compter n'existe pas ou bien elle est exécutée de manière non coordonnée. Il n'y a ici aucun comptage proprement dit. Pour mieux comprendre cette perception primitive, imaginons qu'on nous demande de danser sur les paroles de la chanson YMCA: Young man... Plusieurs personnes y arriveront approximativement en retrouvant un mot ou une ligne, ici et là, et en faisant les gestes d'accompagnement plus ou moins en harmonie avec la musique... Vraiment pas de quoi gagner un Grammy!

À l'Étape B (3 à 5 ans) la question évoque surtout un rituel numérique culturellement valorisé. L'enfant y réagit par la récitation d'une suite de mots correctement ordonnés accompagnant une routine gestuelle d'étiquetage d'un ensemble d'éléments (c'est la correspondance terme à terme) exécutée avec une assez bonne précision, du moins pour une quinzaine d'objets. On parle ici de comptage-numérotage. Le comptage est correct, mais la compréhension du dénombrement est encore très imparfaite. Ainsi, si on demande Combien as-tu de blocs?, l'enfant répond: "Un, deux, trois, quatre." Si on répète : "Oui, mais combien de blocs?" La réponse se limite à une répétition systématique du rituel : "Un, deux, trois, quatre." Et c'est souvent l'adulte qui ajoute, sans réaliser ce qui se passe: "Tu veux dire quatre!" Mais ce n'est pas ce que l'enfant veut dire! Par analogie, ce comptage rituel correspond à notre capacité de réciter l'alphabet en associant chaque lettre à un objet différent d'un ensemble à dénombrer. Ainsi, on pourrait dire qu'il y a "S" perles dans un collier qu'on aurait correctement égrené en récitant l'alphabet jusqu'à cette lettre. Mais la dernière étiquette ne correspond pas tout à fait à un nombre, elle désigne simplement la "S-ième" perle de la suite. Malgré cette perception partielle, on pourrait tout de même répondre à des questions de quantification du genre: " Le collier de Patrice contient K perles et celui de Lisa en compte "M", qui en a le plus? ou encore : "J'ai enfilé F perles et j'en ajoute E autres, combien y en a-t-il maintenant?" Dans ce dernier cas, vous et moi aurions très probablement besoin de reprendre la récitation de l'alphabet depuis le début (pour obtenir A, B, C... J, K). Il nous faudrait un peu plus d'expérience pour effectuer un compte à partir de F et encore plus de familiarisation pour percevoir ces lettres comme des nombres à part entière. Les élèves situés à l'Étape B ressentiront exactement la même impression devant l'énoncé parfaitement analogue suivant: "J'ai enfilé 6 perles et j'en ajoute 5 autres, combien y en a-t-il maintenant ?".

À la fin de l'Étape C (4 à 7 ans) la question "Combien?" aura pris tout son sens numérique. Dans ce cas, la dernière étiquette du comptage-numérotage signifie quelque chose de plus que la valeur ordinale attribuée au dernier élément de l'énumération, c'est aussi une valeur cardinale, ce qui nous permet de répondre correctement à la question Combien y a-t-il d'éléments dans cette énumération? On dit alors que le comptage donne lieu au dénombrement de la collection, car l'enfant applique le principe de cardinalité (ou principe cardinal). Cependant, à cette étape de son développement du sens du nombre l'enfant ne sait dénombrer que ce qu'il peut directement toucher, voir, entendre ou ressentir.

À l'Étape 1 (6 à 7 ans) le comptage peut s'appliquer à des éléments non directement accessibles aux sens. Pour y parvenir, l'enfant a recours à sa capacité d'analogie en utilisant une collection de substitution: ses doigts, des jetons, des marques... C'est de cette panoplie de représentations variées que l'élève va se servir pour développer le concept de nombre (au sens piagétien) et pour parcourir les prochaines étapes incontournables du nombre au primaire. Le dénombrement est alors solidement maîtrisé et le recours aux mots-nombres et aux symboles numériques est perçu comme un moyen plus rapide de représenter les éléments à dénombrer.

Si vous expérimentez les vidéos des étapes A @ C, n'hésitez pas à énoncer la question Combien ?, mais méfiez-vous des interprétations très variables que les enfants peuvent en faire. Cette question perturbe souvent les perceptions et les comportements des enfants que l'on attend à cette étape initiale du développement du nombre. Souvenez-vous surtout que cette question n'a peut-être pas pour l'enfant le sens que nous lui donnons en arithmétique abstraite. Surveillez les réactions typiques des tout-petits ou des élèves accusant des retards, elles vous alerteront à ce sujet. Dans des situations de comptage visuel des étapes A et B, associez la question Combien? à des périphrases comme Que va-t-il se passer derrière la porte ou les rideaux ? ou Y a-t-il des Subitos qui sont cachés? accompagnée peut-être de Juste un ou plusieurs ? La représentation de la réponse au moyen de jetons pourrait aussi constituer une façon de contourner cette difficulté de communication qui est une embûche non négligeable pour les enfants éprouvant des troubles associés au langage. L'incitation Compte-les! n'est pas une solution dans ce cas, car elle crée exactement la même problématique en référant à une routine que l'enfant peut considérer comme totalement étrangère à la question véritable (Y en a-t-il qui sont disparus ? ou...).

Si vous avez vécu des expériences significatives au sujet de la question "Combien ?", n'hésitez pas à les ajouter à nous en faire part en réagissant à ce texte.

Michel Lyons :-)

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